жесткость упругих опор

Принимая последовательно и т. д., получаем зависимости

Для дальнейшего анализа выражение (3.29) перепишем в безразмерном виде

В задачах устойчивости из всех собственных значений практический интерес представляет то, которое приводит к наименьшей нагрузке. Это наименьшее значение нагрузки является критическим. В отличие от задач, рассмотренных выше, в данной задаче первое собственное значение, соответствующее прогибу стержня по одной полуволне синусоиды, не всегда приводит к наименьшей нагрузке.

Способ угадывания решений в задачах на собственные значения следует применять с осторожностью. Для гарантированного правильного решения необходимо использовать полную систему функций (как это сделано выше), иначе можио получить ошибочный результат. Например, если в рассматриваемой задаче взять решение просто в виде то ошибка в значении критической силы может оказаться сколь угодно большой.

Прямой подстановкой нетрудно убедиться в том, что такой набор синусоид дает решение уравнения (3.27), удовлетворяющее граничным условиям. Поскольку система функций (3.28) полная, автоматически получаем полную систему собственных функций для рассматриваемой задачи. Каждая из собственных функций дает соответствующее собственное значение задачи. После сокращения общих множителей из уравнения (3.27) получим

Решение последнего уравнения с постоянными коэффициентами не составляет принципиальных трудностей. Наиболее просто решение уравнения (3.27) может быть найдено для шарнирно-опертого стержня. В этом случае граничными условиями являются: . Выше рассмотрена задача устойчивости шарнирно-опертого стержня без упругого основания и для нее найдена полная система собственных функций

В общем случае анализ этого уравнения затруднителен. Поэтому сначала рассмотрим стержень постоянной изгибной жесткости , лежащий на упругом основании с коэффициентом постели и сжатый силой . В этом случае и уравнение (3.26) принимает вид

Уравнение (3.26) справедливо для произвольно нагруженного в продольном направлении стержня переменной изгибной жесткости и при переменном коэффициенте постели .

Граничные условия, очевидно, не зависят от того, связан стержень с упругим основанием или нет. Они определяются условиями закрепления и нагружения концов стержня. Поэтому граничные условия, которые приведены в W 13, полностью могут быть перенесены на случай стержней, связанных с упругим основанием.

С учетом сформулированных в W 13 основных допущений нетрудно вывести линеаризованное уравнение для рассматриваемой задачи. Выкладки аналогичны выкладкам, приведенным в W 13. Проектируя на ось у действующие на искривленный элемент стержня силы, необходимо только дополнительно учесть реакцию упругого основания . Окончательно вместо уравнения (3.4) получим следующее однородное уравнение:

где коэффициент жесткости упругого основания (коэффициент постели).

Ограничимся случаем так называемого винклеровского сплошного упругого основания, т. е. будем считать, что распределенная реакция упругого основания в каждой точке пропорциональна прогибу стержия в этой же точке и не зависит от прогибов на других участках стержня (рис. 3.14):

Задача устойчивости стержней, связанных с упругим основанием, представляет интерес, поскольку расчетные схемы такого рода широко используются на практике. Кроме того, решение этой задачи имеет методическое значение: сравнительно простая задача устойчивости стержня на упругом основании имеет особенности, характерные для многих более сложных задач устойчивости пластин и оболочек.

W 15. Стержни на упругом основании и упругих опорах

Для отображения сканов страниц необходимо включить JavaScript в настройках браузера.

научная-библиотека.рф

избранных естественно-научных изданий

Научная библиотека

Поиск в библиотеке:

W 15. Стержни на упругом основании и упругих опорах